题目

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，λc=2acosB（λ∈R）．
（Ⅰ）当λ=1时，求证：A=B；
（Ⅱ）若B=60°，2b²=3ac，求λ的值．

提问时间：2021-03-23

答案

（I）当λ=1时，得到c=2acosB，即cosB=

c

2a

，
而cosB=

a2+c2−b2

2ac

，所以得到

a2+c2−b2

2ac

=

c

2a

，
化简得：a²+c²-b²=c²，即a=b，
∴A=B；
（II）根据余弦定理得：cos60°=

1

2

=

a2+c2−b2

2ac

，又2b²=3ac，得到b²=

3ac

2

，
则a²+c²-

3ac

2

=ac，化简得：（2a-c）（a-2c）=0，
解得a=

c

2

或a=2c，
当a=

c

2

时，由λc=2acosB，得到λ=

2acosB

c

=

1 2 c

c

=

1

2

；
当a=2c时，由λc=2acosB，得到λ=

2acosB

c

=

1 2 ×4c

c

=2，
综上，λ的值为

1

2

或2．

（I）把λ=1代入λc=2acosB中，表示出cosB，然后利用余弦定理表示出cosB，两者相等化简后，得到a等于b，根据等边对等角得到A等于B，得证；
（II）由条件2b²=3ac表示出b²，然后利用余弦定理表示出cosB，把B的度数和表示出的b²代入即可得到关于a与c的关系式，即可用c来表示出a，又λc=2acosB，把cosB和表示出的a代入即可求出λ的值．

本题考点：解三角形；三角函数中的恒等变换应用．

考点点评：此题考查学生灵活运用余弦定理化简求值，掌握三角函数中的恒等变换的应用，是一道中档题．