题目

正三棱锥P-ABC的底面边长为1，E，F，G，H分别是PA，AC，BC，PB的中点，四边形EFGH的面积为S，则S的取值范围是 ___ ．

提问时间：2021-03-23

答案

∵棱锥P-ABC为底面边长为1的正三棱锥
∴AB⊥PC
又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，
∴EH=FG=

1

2

AB=

1

2

，EF=HG=

1

2

PC
则四边形EFGH为一个矩形
又∵PC＞

3

3

，
∴EF＞

3

6

，

3

12

，
∴四边形EFGH的面积S的取值范围是（

3

12

，+∞），
故答案为：（

3

12

，+∞）

由已知中正三棱锥P-ABC的底面边长为1，E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，我们可判断出四边形EFGH为一个矩形，一边长为

1

2

，另一边长大于底面的外接圆的半径的一半，进而得到答案．

本题考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中根据正三棱锥的结构特征，判断出AB⊥PC这，进而得到四边形EFGH为一个矩形是解答本题的关键．