题目

题意不太明白,也不知怎么证明.
设S1、S2、S3是三个由整数组成的非空集合,已知对于1、2、3的任意一个排列i、j、k,如果x属于Si,y属于Sj,则x-y属于Sk,证明：S1、S2、S3中必有两个集合相等.

提问时间：2021-03-23

答案

设x ∈ s1,且y ∈ s2
那么x-y ∈s3.
根据已知条件,
因为x-y ∈ s3,且x ∈ s1
所以-y ∈ s2.
同理可证,-x ∈ s1,以及y-x∈ s3
因此,对于任意一个集合,它的元素都是成对（一正一负）出现的.
容易知道,x+y ∈ s3,-x-y∈ s3.
如果某个集合（如S2）中含有元素0,那么由x-0=x,知道S1和S3的元素全
部相同,S1=S3.
如果x（∈ S1）,y（∈ S2）都不是0,
那么S3中的元素x+y和x-y中必有一个的绝对值小于x和y中绝对值较大的一个（分同号和异号讨论）.
设|x|>|x-y|,那么取S2中的y和S3中的x-y重复使用上述规则,
从而得到一串绝对值递减的数列：|x|,|x-y|,|x-2y|,……
但是绝对值递减的整数列不能无限下去,因此必然最终得到0（无穷递降法）.
所以,我们证明了必然有一个集合中含有0元素.
从而得到结论