题目

1.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是一个直角梯形,∠BAD=90度,AD//BC,AB=BC=a,AD=2a.且PA⊥平面ABCD,PD与底面成30度角.
求异面直线AE与CD所成角的余弦值
2.设圆上的点A(2,3)关于直线x+2y=0的对称点仍在圆上,且与直线x-y+1=0相交的弦长为2√2,求圆的方程.
3.已知圆x^2+y^2+8x-6y+21=0与直线y=mx交于P,Q两点,O为坐标原点,求向量OP·向量OQ的值.
4.已知圆C:x^2+y^2-4x-14y+45=0及点Q(-2,3).
(1)若点P(m,m+1)在圆C上,求直线PQ的斜率;
(2)若M是圆上任一点,求|MQ|的最大值和最小值.
额..
第一题漏了个条件:AE⊥PD于E.
第二、三、四题我做完了,你们不用解了..

提问时间：2021-03-23

答案

取AD中点F,过F作FG垂直PD于G,连接BG,连接BD
因为 AE垂直PD,FG垂直PD
所以 AE//FG
所以 FG与CD所成角就是AE与CD所成角
因为 F是AD中点
所以 DF＝AD/2＝a＝BC
因为 AD//BC
所以 四边形BCDF是平行四边形
所以 BF//CD
所以 FG与BF所成角就是FG与CD所成角,也就是AE与CD所成角,即角BFG是所求的角
因为 PA垂直底面ABCD
所以 PA垂直AD,PA垂直AB
在Rt△PAD中,角PDA＝30度,AD＝2a
所以 PA＝(2√3/3)a,PD＝(4√3/3)a
同理 AE＝a,FG＝a/2,DG＝(√3/2)a
所以 PG＝PD－DG＝(5√3/6)a
在Rt△PAB中,PA＝(2√3/3)a,AB＝a
所以 PB＝(√21/3)a
在Rt△ABD中,AB＝a,AD＝2a
所以 BD＝√5a
在△PBD中,PD＝(4√3/3)a,PB＝(√21/3)a,BD＝√5a
所以 cosBPD＝√7/7
在△PBG中,cosBPD＝√7/7,PB＝(√21/3)a,PG＝(5√3/6)a
所以 BG^2＝11/4
在Rt△BAF中,AF＝AD/2＝a,AB＝a
所以 BF＝√2a
在△BFG中,BF＝√2a,FG＝a/2,BG^2＝11/4
所以 cosBFG＝-√2/4,即角BFG是钝角
因为 异面直线所成的角是锐角
所以 AE与CD所成角的余弦值是 √2/4