题目

如何证明A+B为奇异矩阵
A,B为n阶方阵,如果已知AB=BA,且A与B的特征值集合之间没有交集,如何证明A+B为非奇异?
问题题目为“如何证明A+B为非奇异矩阵”，而非“A+B为奇异矩阵”，见谅

提问时间：2021-03-23

答案

不能证明.
令A=I,B=-I,I为单位矩阵,显然满足所有条件,但A+B=0显然奇异.
你提到的条件可以证明A-B非奇异.
由于AB=BA,在复数域上可以同时上三角化,也就是说存在可逆矩阵P,使得PAP^(-1)=S,PBP^(-1)=T,S和T都是上三角矩阵,对角线是A、B的特征值.由于A、B特征值集合之间没有交集,所以S-T的对角线上没有0,所以0不是S-T的特征值,所以S-T非奇异.又因为P(S-T)P^(-1)=A-B,所以A-B也是非奇异的.