题目

已知直线l与圆x²+y²+2x=0相切于点T，且与双曲线x²-y²=1相交于A、B两点．若T是线段AB的中点，求直线l的方程．

提问时间：2021-03-23

答案

直线l与x轴不平行，设l的方程为 x=ky+a，代入双曲线方程 整理得（k²-1）y²+2kay+a²-1=0． 
 而k²-1≠0，于是

y

T

＝

yA+yB

2

＝−

ak

k2−1

，从而xT＝kyT+a＝−

a

k2−1

，即T（

a

1−k2

，

ak

1−k2

）．
∵点T在圆上，∴(

ak

1−k2

)2+(

a

1−k2

)2+

2a

1−k2

＝0，即k²=a+2，
由圆心O'（-1，0），O'T⊥l 得  k_O'T•k_l=-1，则 k=0，或 k²=2a+1．
当k=0时，由①得 a=-2，∴l 的方程为 x=-2；
当k²=2a+1时，由①得 a=1K＝±

3

，∴l的方程为 x＝±

3

y+1．
故所求直线l的方程为x=-2或 x＝±

3

y+1．

设l的方程为 x=ky+a，代入双曲线方程 整理，利用根与系数的关系求得点T的坐标，把点T的坐标代入圆的方程得到k²=a+2，由 O'T⊥l 得  k_O'T•k_l=-1，可得 k=0，或 k²=2a+1．分类讨论求得a值，即得k值，从而得到所求直线l的方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的一般式方程．

考点点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，两直线垂直的性质，体现了分类讨论的数学思想，得到 k=0，或 k²=2a+1是解题的关键，属于中档题．