题目

求解实对称分块三对角矩阵的本征值
例如现在有实对称方阵A,把它分解成一个分块的三对角矩阵,分块矩阵元为
[ Hss Hsp 0
Hsp Hpp Hpd
0 Hpd Hdd ]
Hss,Hpp,Hdd的阶数不一定相等,但是如果Hsp的各个矩阵元的平方和不变,Hpd的矩阵元平方和也不变,那么无论Hsp,Hpd的各个矩阵元怎么变化,A的本征值不变.这个结论我已经验证了,是对的,谁会证明
这个矩阵非常特殊，限定条件很多。之前的问题我是没说清楚，举例，Hss是N阶方阵，Hpp是3N阶方阵，并且Hpp是一个分块的三对角矩阵组成，Hpp=[Hp0 0 0
0 Hp1 0
0 0 Hp2],并且Hp0=Hp1=Hp2\=0。Hdd是一个5N阶方阵，其结构同Hpp相同,Hd0=Hd1=Hd2=Hd3=Hd4\=0,但是Hp0\=Hd0。我所举的例子，只是想说明Hpp和Hdd的结构，实际情况其阶数可以不必像我举例这样，其它方面一定要和例子一样。至于我所说的变化指Hsp,Hpd的每个矩阵元可以任意没有规律变化，只有一个非零矩阵元也可以，只要矩阵元平方和(非零)保持不变。其实这是我遇到的一个物理问题，但本人水平有限，没能从物理上给出解释，所以想从数学上突破。

提问时间：2021-03-23

答案

这种结论显然是错的,即使是实对称矩阵也不可能有如此强的结论,况且你的叙述也很不清晰,完全没有讲清楚所谓的“变”是何种变换.
如果你不相信的话先给你一个反例
Hss=[1,2; 2,3], Hsp=[3,4], Hpp=6, Hpd=Hdd=0
如果把Hsp变成[0,5]而别的块不变,特征值肯定不同.
我猜测你试图从正交变换中总结一些性质.只能说Frobenius范数是酉不变范数,但是如果没有更多条件的话不要认为Frobenius范数是Hermite矩阵在酉变换下的全系不变量.
补充：
这次虽然你增加了很强的条件,但仍不足以推出结论,再给你个例子
N=1, Hss=1, Hpp=diag{2,2,2}, Hdd=diag{3,3,3,3,3}, Hsp=[1;0;0]
这些不变,而
Hpd=[0,0,0; 0,0,3; 0,4,0; 0,0,0; 0,0,0]
和
Hpd=[0,0,0; 0,0,5; 0,0,0; 0,0,0; 0,0,0]
得到的特征值不同.
你之所以产生这种猜测,跟你给的矩阵结构有一定关系.
A=diag{c_1*I_{k_1}, c_2*I_{k_2}, ..., c_n*I_{k_n}} + L + L'
这里L是相应的下三角块.
如果作用一个与之结构匹配的分块对角酉变换
Q=diag{Q_1, Q_2, ..., Q_n}
自然就有Q'AQ和A的特征值相同,并且Q'AQ的对角块和A相同.我也提过了,Frobenius范数是酉不变范数,L当中的每一块在此变换下变成Q_k'*L_k*Q_{k-1},所以其F-范数不变.
但是绝对不可能反过来说如果L中相应的块F-范数不变就一定保持特征值不变,完全没希望的.