题目

已知函数y=

-x2+7x-12

的定义域是A，函数y=

a

x2+x+1

(a＞0)在[2，4]上的值域为B，全集为R，且B∪（∁_RA）=R，求实数a的取值范围．

提问时间：2021-03-23

答案

由-x²+7x-12≥0，求得定义域A={x|3≤x≤4}．…（3分）
又因为y=

a

x2+x+1

(a＞0)在[2，4]单调递减，所以值域B={y|

a

21

≤x≤

a

7

}．…（6分）
C_UA={x|x＜3，或 x＞4}，又因为B∪（C_RA）=R，
∴

a 21 ≤3 a 7 ≥4

，解得 28≤a≤63，即实数a的取值范围为[28，63]． …（12分）

求出A={x|3≤x≤4}，再利用单调性求出y＝

a

x2+x+1

(a＞0)的值域B，从而得到C_UA，再由B∪（C_RA）=R，
可得

a 21 ≤3 a 7 ≥4

，由此解得a的范围．

本题考点：函数的值域；集合关系中的参数取值问题；函数的定义域及其求法．

考点点评：本题主要考查集合中参数的取值问题，求函数的定义域和值域，属于中档题．