题目

已知n为整数且n>1,用放缩法证明 1+1/（根号2）+1/（根号3）+.1/(根号n)>根号n

提问时间：2021-03-23

答案

解法一.由n^2+n>n^2,即n(n+1))>n^2,两边开方得√(n(n+1))>n,
于是有√(n(n+1))+1>(n+1),两边同除√(n+1)得
√n+1/√(n+1)>√(n+1)
故得1/√(n+1)>√(n+1)-√n,也即1/√n>√n-√(n-1),利用(放缩法)上式
1+1/√2+1/√3+.+1/√n>1+(√2-√1)+(√3-√2)+...+(√n-√(n-1))>√n.
解法二.
1+1/√2+1/√3+.+1/√n>1/√n+1/√n+...+1/√n>n(1/√n)>√n
(1,1/√2,1/√3...用1/√n代替也是放缩法)