题目

已知点P(m,n)在反比例函数 连OP 做PA OP 交x轴于A 求k
已知点P(m,n)(m>0)在反比例函数y=k/x(k>0)上,连op,作pa⊥op,交x轴于A点,A点坐标为（a,o）,(a>m) ,S△OPA=1+n^4/4
若k≠n^4/2,n为小于20的整数,求k 的大小

提问时间：2021-03-22

答案

）.点P（m,n）在函数y=k/x 上,则P点坐标可表示为（m,k/m）,即 n = k/m
当n=1时,k/m=1 ,即m=k ,P点坐标可表示为（m,1）
则OP斜率为Kop=1 / m ,因为PA⊥OP,所以Kop*Koa= — 1,即Koa= — m
直线OA过P（m,1）点,斜率为 —m ,则直线OA方程为：y= — mx+(m^2+1)
直线OA与 x 轴交点坐标为：A（（m^2+1）/ m ,0）
S △OPA= 1/2 * A点横坐标 * P点纵坐标
=5/4
即 1/2 * （m^2+1）/ m * 1 =5/4
解得：m=2 或 m=1/2
即当n=1时,P点坐标为（2,1）或（1/2 ,1）
(2).当PA=OP,△OPA是等腰直角三角形,∠POA=∠PAO=45度
即P点在直线 y = x 上,
所以P点坐标可表示为（m,m） 得：n=m
A点坐标可表示为（2m,0）
又因为P点（m,m）在y=k/x上,得：k=m^2
S △OPA=1/2 * A点横坐标 * P点纵坐标
=1 + n^4 / 4
=1 + m^4 / 4
即 1/2 * 2m * m=1 + m^4 / 4
化简得：m^4 — 4m^2 + 4 = 0
即：（m^2 — 2）^2 = 0
m^2 — 2 = 0
m^2 = 2
则 k = m^2 = 2
抓几点：
（1）mn=k
（2）pa⊥op得m^2+n^2=am
（3）S△OPA=1+n^4/4即an/2=1+n^4/4
由（2）（3）消去a得2m^2+2n^3=4m+mn^4 (4)
由（1）（4）消去m得(k-2)(k-n^4/2)=0
所以k=2