题目

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E是AD延长线上一点，DE=BC．

（1）求证：∠E=∠DBC；
（2）判断△ACE的形状（不需要说明理由）．

提问时间：2021-03-22

答案

（1）证明：
证法一：∵AD∥BC，
∴∠BCD=∠EDC，
在△BCD和△EDC中，

BC＝DE ∠BCD＝∠EDC CD＝DC

，
∴△BCD≌△EDC（SAS）
∴∠E=∠DBC
证法二：∵DE∥BC，DE=BC，
∴四边形BCED是平行四边形，（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴∠E=∠DBC．

（2）△ACE是等腰三角形．
理由为：∵梯形ABCD为等腰梯形，
∴AB=DC，AC=BD，
又∵BC=CB，
∴△ABC≌△DCB，
∴∠ACB=∠DBC，
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠ACB，
∴∠DBC=∠EAC，
又∵∠DBC=∠E，
∴∠EAC=∠E，
∴AC=EC，
∴△ACE是等腰三角形．

（1）根据AD∥BC，得到∠BCD=∠CDE，又DE=BC，所以△BCD≌△EDC，根据全等三角形的对应角相等即可得证．
（2）根据全等三角形对应边相等得到BD=CE，又等腰梯形的对角线相等，所以AC=CE，所以是等腰三角形．

本题考点：等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．

考点点评：本题主要利用等腰梯形的性质和全等三角形的判定，利用全等三角形的对应角相等是证明两个角相等常用的方法之一，本题利用平行四边形的判定和性质证明更加简单．