题目

若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）=lg（x+1），求f（x）的表达式，并画出示意图．

提问时间：2021-03-22

答案

①当x=0时，f（0）=0；
②当x＜0时，-x＞0，
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
∴f（x）=-f（-x）=-lg（-x+1），
综上：f(x)＝

lg(x+1)，(x＞0) 0，(x＝0) −lg(−x+1)，(x＜0)

其图象如下图所示：

根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=lg（x+1），我们根据定义域为R的奇函数的图象必过原点，则f（-x）=-f（x），即可求出函数f（x）在R上的解析式；

本题考点：函数奇偶性的性质．

考点点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，其中根据奇函数的图象必过原点，及奇函数的定义f（-x）=-f（x），求出当x＜0时的解析式，是解答本题的关键．