题目

定长为5的线段AB的两个端点在一抛物线y^2=2px上移动,求AB中点M到y轴的最短距离
AB是抛物线内部的弦，A和B都在抛物线上移动。

提问时间：2021-03-22

答案

方法1：p>0和p<0对称,所以只要求p>0的,p<0变化一下就行
假设y1^2=2px1,y2^2=2px2
因为(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=25
所以[(y1^2-y2^2)/2p]^2+(y1-y2)^2=25
所以(y1^2+y2^2-2y1y2)(y1^2+y2^2+2y1y2+4p^2)=100p^2
根据不等式,(a+b)^2>=4ab,
所以[(y1^2+y2^2-2y1y2)+(y1^2+y2^2+2y1y2+4p^2)]^2
>=4(y1^2+y2^2-2y1y2)(y1^2+y2^2+2y1y2+4p^2)=400p^2
所以2(y1^2+y2^2)+4p^2>=20p
因为所求d=(x1+x2)/2=(y1^2+y2^2)/4p
所以2d+p>=5,d>=(5-p)/2
方法2：根据抛物线定义
到焦点的距离=到准线的距离
由于AP+BP>=AB（其中P为焦点）
所以A到准线距离+B到准线距离>=5
2*M到准线距离>=5
所以2*(d+p/2)>=5
所以d>=(5-p)/2