题目

三角形角平分线试题
RT△ABC俩个锐角的角平分线CE、AF交于点D 已知：S debf=19 求：S△ABC

提问时间：2021-03-22

答案

设BC=a,BF=aa,AB=c,BE=cc,
过D分别作AB,BC,AC的垂线,垂足分别为G,H,I；
由于CD平分∠ACB,所以DH=DI；
同理,DG=DI；
令DG=DH=DI=r.
由于∠ABC为直角,
则S△BDE=S△BCE-S△BCD
=（1/2）cc·a -（1/2）r·a
=（1/2）（cc-r）·a ；
S△BDF=S△BAF-S△ABD
=（1/2）aa·c -（1/2）r·c
=（1/2）（aa-r）·c ；
则S debf=S△BDE+S△BDF
=（1/2）[cc·a+aa·c-（a+c）·r]
则 cc·a+aa·c-（a+c）·r = 2×S debf =38；
r=(cc·a+aa·c - 38)/（a+c）.
作EM⊥AC于M,FN⊥AC于N,则根据角平分线定理,EM=BE=cc;FN=BF=aa.
于是
sinA
=EM/AE=cc/(c-cc)
=a/AC;
而由勾股定理,AC=√（a^2 + c^2）,
则有
(c-cc)/cc=AC=√（a^2 + c^2）/a;
→cc=c/[1+√（a^2 + c^2）/a]
=a·c/[a+√（a^2 + c^2）]
=(a/c)·[√（a^2 + c^2）-a];
→cc·a=(a^2/c)·[√（a^2 + c^2）-a]
同理有
aa·c=(c^2/a)·[√（c^2 + a^2）-c];
则
r=(cc·a+aa·c - 38)/（a+c）
=√19,
则
S△ABC =[a+c+√（a^2 + c^2）]·r
=57+38√2