题目

正整数n(n>1)的三次方分解为m个连续奇数之和,n是质数的时候只有一种吗?
正整数n,n是质数的时候,n的三次方只能分解为n个连续奇数之和吗?那n是合数的时候都至少有2种分解吗?当n是足够大的合数的时候,有无限种分解方法吗?求证明.

提问时间：2021-03-22

答案

m个连续奇数之和,设最小的奇数为2k+1,则最大的奇数为2k+2m-1,按等比数列求和知这m个连续奇数之和为 (2k+1+2k+2m-1)m/2=m(2k+m)
若n为质数,则m(2k+m) =n³ ,
注意到m整除n³ ,所以只能是m=1,n,n²,n³
但有1≤m