题目

高一数列证明题
已知函数f(x)=(x+3)/(x+1)(x≠-1),设数列{An}满足A1＝1,A(n+1)=f(An),数列{Bn}=| An-√3 |,Sn=B1+B2+……+Bn(n为正整数)
(1)用数学归纳法证明Bn<=[(√3 - 1 )^n]/2^(n-1)
(2)证明Sn<2√3/3

提问时间：2021-03-22

答案

证明：
1.(1)n=1时,B1=|A1-√3|=√3-1
(√3-1)^n/2^(n-1)=√3-1 命题成立.
(2)假设n=k时,命题成立,即有Bk=|Ak-√3|<=(√3-1)^k/2^(k-1) 成立
则B(k+1)=|A(k+1)|=|(Ak+3)/(Ak+1)+1-√3|=|2/(Ak+1)+1-√3|
由 |Ak-√3|<=(√3-1)^k/2^(k-1) 成立,得：
-(√3-1)^k/2^(k-1)<=Ak-√3<=(√3-1)^k/2^(k-1)
【接下来不等式变换,目的是凑成B（k+1）的表达式,不等式三边同加√3+1,再倒数（注意不等号变向）,再乘以2,再加 上1-√3,以上都是基本功,不过楼主须耐心计算,】最后约掉2^k,得到下式：
-(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)+(√3-1)^k]<=2/(Ak+1)+1-√3<=(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k]
加上绝对值,得：
(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)+(√3-1)^k]<=|2/(Ak+1)+1-√3|<=(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k]
即：
(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)+(√3-1)^k]<=B(k+1)<=(√3-1)^(k+1)/[(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k]
【比较所要证明的式子,现在只要证明(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k>=2^k就可以了】
令t＝(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k-2^k
＝2^k/(√3-1)-2^k-(√3-1)^k
＝2^k[1/(√3-1)-1]-(√3-1)^k
（i）k＝1时,显然t>=0,即(√3+1)*2^(k-1)-(√3-1)^k>=2^k成立
（ii）k>=2:因为1/(√3-1)-1约＝0.36,所以2^k[1/(√3-1)-1]>=2^2*0.36>1
因为0<√3-1<1,所以(√3-1)^k<1,所以2^k[1/(√3-1)-1]-(√3-1)^k>0
综合（i）（ii）,得：B(k+1)<=(√3-1)^(k+1)/{2^[(k+1)-1]}
综合(1)(2),对于任何n属于N,Bn<=(√3-1)^n/2^(n-1)成立.
2.【利用1中已经证明了的结论】
经计算,B3＝√3-5/3<(√3-1)^3/2^(3-1)
所以Sn＝B1+B2+……+Bn
<(√3-1)^1/2^(1-1)+(√3-1)^2/2^(2-1)+……+(√3-1)^n/2^(n-1)
=2[(√3-1)^1/2^1+(√3-1)^2/2^2+……+(√3-1)^n/2^n]
<2*{[(√3-1)/2]/[1-(√3-1)/2]}………………………………【等比数列各项和】
＝2√3/3 （证明完毕）