题目

已知,如图,梯形ABCD中,AD平行BC,角ABC=90度,如图（2),若DE垂直BC于E,BD=BC,F是CD的中点,试问角BAF
和角BCD的大小关系如何,请写出你的结论并加以证明,在（2）的条件下,若AD=ED,S三角形ABF/S三角形CEF

提问时间：2021-03-22

答案

1、∵BD=BC,

∴〈BDC=〈BCD,

∵DF=CF,（已知）,

∴BF⊥CD,（等腰△三线合一）,

∵〈BAD=90°,

∴〈BAD+〈BFD=180°,

∴A、B、F、D四共圆,

∴〈BAF=〈BDF（同弧圆周角相等）,

∴〈BAF=〈BCD.

2、∵DE⊥BC,〈DAB=〈BAD=90°,

∴四边形ABED矩形,

又∵AD=DE,

∴四边形ABED是正方形,

∵〈BFD=〈BED=90°,

∴B、E、F、D四点同在以BD中点为圆心、BD为直径的圆上,

∴〈EFC=〈DBE=45°,（圆内接四边形外角等于内对角）,

〈FEC=〈BDF,（同理）,

而由前所述,〈BAF=〈BDF,（同弧圆周角）,

∴〈BAF=FEC=〈C,

∵〈ABF+〈ADF=180°,（圆内接四边形对角互补）

〈C+〈ADF=180°,（同旁内角互补）,

∴〈C=〈ABF,

∴等腰△FAB∽等腰△FEC,

设AB=1,

〈FEC=〈C=（180°-45°）/2=67.5°,

〈CDE=22.5°,

tan<EDC=CE/DE=√2-1,

∴S△ABF/S△CEF=（AB/CE）^2=(1/(√2-1）^2=(√2+1）^2=3+2√2.

其中tan22.5°=√[（1-co45 °)/2]/[（1+co45 °)/2]=√2-1.