题目

在海岸A处测得北偏东45°方向距A为(√3-1)km的B处有一群鱼,鱼群正以10km/h的速度从B处向北偏东30°方向游动,在A处北偏西75°方向,离A为2km的C处有一艘渔船获悉立即以10√3 km/h的速度追捕鱼群,问渔船沿什么方向行驶才能最快追上渔群?并求出时间.详细过程

提问时间：2021-03-22

答案

由题意设当鱼群游到D处时被渔船追上,用时为t小时,则：
鱼群所游距离为BD＝10t,渔船行驶距离为CD＝10√3*t
在△ABC中,AB=√3-1,AC=2,∠CAD=180°-15°-45°=120°
则由余弦定理可得：
BC²=AB²+AC²-2AB*AC*cos∠CAD
=(√3-1)²+2²-2(√3-1)*2*cos120°
=4-2√3+4+2√3-2
=6
BC=√6
cos∠CBA=(AB²+BC²-AC²)/(2AB*BC)
=(4-2√3+6-4)/[2*(√3-1)*√6]
=√2/2
所以∠CBA=45°
易知BC两点连线与东西向坐标轴平行
所以∠CBD=180°-60°=120°
则在△CBD中,BC=√6,BD=10t,CD=10√3*t
有:CD²=BC²+BD²-2BC*BD*cos∠CBD
即：300t²=6+100t²-2*√6*10t*(-1/2)
200t²-10√6t-6=0
(20t+√6)(10t-√6)=0
解得：t＝√6/10 (t=-√6/20不合题意,舍去)
以下求渔船的行驶方向,即求∠BCD
在△CBD中,BD＝10t＝√6,CD＝10√3*t＝3√2,BC=√6
由BD=BC得△CBD是等腰三角形
又∠CBD=120°
所以∠BCD＝30°
即渔船沿北偏东60°经过√6/10小时才能最快追上鱼群.