题目

已知数列bn的首项b1=3/5,b(n+1)=3bn/(2(bn)+1)
(1)求证数列｛(1/bn)-1｝为等比数列 (2)求数列｛1/bn｝的前n项和Sn

提问时间：2021-03-21

答案

1
∵b(n+1)=3bn/(2(bn)+1)
∴1/b(n+1)=(2bn+1)/(3bn)=2/3+1/(3bn)
∴[1/b(n+1)-1]/(1/bn-1)
=[2/3+1/(3bn)-1]/(1/bn-1)
=1/3*(1/bn-1)/(1/bn-1)
=1/3
∴数列｛1/bn-1｝为等比数列
公比为1/3
2
由1知：1/bn-1=(1/b1-1)*(1/3)^(n-1)=2/3^n
∴1/bn=1+2/3^n
∴{1/bn}的前n项和 (分组：前面是常数,后面等比）
Sn=n+2/3(1-1/3^n)/(1-1/3)=n+1-1/3^n