题目

如图，△OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．

（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若D为OA的中点，阴影部分的面积为

3

-

π

3

，求⊙O的半径r．

提问时间：2021-03-21

答案

（1）证明：连OC，如图，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）∵D为OA的中点，OD=OC=r，
∴OA=2OC=2r，
∴∠A=30°，∠AOC=60°，AC=

3

r，
∴∠AOB=120°，AB=2

3

r，
∴S_阴影部分=S_△OAB-S_扇形ODE=

1

2

•OC•AB-

120•π•r2

360

=

3

-

π

3

，
∴

1

2

•r•2

3

r-

π

3

r²=

3

-

π

3

，
∴r=1，
即⊙O的半径r为1．

（1）连OC，由OA=OB，CA=CB，根据等腰三角形的性质得到OC⊥AB，再根据切线的判定定理得到结论；
（2）由D为OA的中点，OD=OC=r，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠A=30°，∠AOC=60°，AC=

3

r，则∠AOB=120°，AB=2

3

r，利用S_阴影部分=S_△OAB-S_扇形ODE，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式得到关于r的方程，解方程即可．

本题考点：切线的判定与性质；勾股定理；扇形面积的计算．

考点点评：本题考查了切线的判定定理：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了含30度的直角三角形三边的关系以及扇形的面积公式．