题目

概率论与数理统计,协方差
性质：cov(X1+X2,Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y).
但是有道题目里面的部分为看不懂了,
设随机变量X和Y的期望都等于1,方差都等于2,其相关系数为0.25,记U=X+2Y,V=X-2Y,求相关系数ρ（uv）.
解法如下：（此列重点）
cov(U,V）=cov(X+2Y,X-2Y） ……（1）
=cov(X,X）-4cov(Y,Y） ……（2）
疑问：从（1）到（2）不理解,为什么呢?求教

提问时间：2021-03-21

答案

这不是多次使用性质么?
先对左边的X+2Y使用一次,得到 原式=COV(X,X-2Y)+COV(2Y,X-2Y)
再对第二项左边的2Y用一次:=COV(X,X-2Y)+COV(Y,X-2Y)+COV(Y,X-2Y)
对右边的X-2Y用一次 =COV(X,X)-COV(X,2Y)+2*[ COV(Y,X)-2COV(Y,Y)]
继续使用公式,把每个协方差都化为 单字母的,
=COV(X,X)-2COV(X,Y)+2COV(Y,X)-4COV(Y,Y)
还记得协方差可以交换顺序吗?即COV(X,Y)=COV(Y,X)
消去中间两项,得到(2)式