题目

空间几何体
已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别为根号2,根号3,根号6（根号 不会打,凑合着看吧）,这个长方体的体对角线长是多少?如果共顶点的三个侧面面积分别是3,5,15,则它的体积是?【最好有详细过程】

提问时间：2021-03-21

答案

无论哪条短,就设共顶点的三条边分别为a,b,c（凑合着看吧- -）
因为共一顶点的三个面的面积分别为根号2,根号3,根号6
所以ab=√2 (1)
bc=√3 (2)
ac=√6 (3)
则(1)*(2)*(3)可得(abc)^2=6
则(1)^2可得(ab)^2=2,同理(bc)^2=3,(ac)^2=6
则c^2=(abc)^2/(ab)^2=6/2=3,同理a^2=2,b^2=1
则体对角线长=√(a^2+b^2+c^2)=√(3+2+1)=√6
如果共顶点的三个侧面面积分别是3,5,15,方法同上,可以求得abc=15,所以三边长分别为5,3,1
则体积是5*3*1=15