题目

费马小定理是什么

提问时间：2021-03-21

答案

[编辑本段]费马小定理
费马小定理是数论中的一个重要定理,其内容为:
假如p是质数,且(a,p)=1,那么 a^(p-1) ≡1（mod p）
[编辑本段]费马小定理的历史
皮埃尔•德•费马于1636年发现了这个定理,在一封1640年10月18日的信中他第一次使用了上面的书写方式.在他的信中费马还提出a是一个质数的要求,但是这个要求实际上是不存在的.与费马小定理相关的有一个中国猜想,这个猜想是中国数学家提出来的,其内容为：当且仅当2^(p-1)≡1(mod p),p是一个质数.
假如p是一个质数的话,则2^(p-1)≡1(mod p)成立（这是费马小定理的一个特殊情况）是对的.但反过来,假如2^(p-1)≡1(mod p)成立那么p是一个质数是不成立的（比如341符合上述条件但不是一个质数）.因此整个来说这个猜想是错误的.一般认为中国数学家在费马前2000年的时候就已经认识中国猜测了,但也有人认为实际上中国猜测是1872年提出的,认为它早就为人所知是出于一个误解.
[编辑本段]费马小定理的证明
一、准备知识：
引理1．剩余系定理2
若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时,有a≡b(modm)
证明：ac≡bc(mod m)可得ac–bc≡0(mod m)可得(a-b)c≡0(mod m)因为(m,c)=1即m,c互质,c可以约去,a–b≡0(mod m)可得a≡b(mod m)
引理2．剩余系定理5
若m为整数且m>1,a[1],a[2],a[3],a[4],…a[m]为m个整数,若在这m个数中任取2个整数对m不同余,则这m个整数对m构成完全剩余系.
证明：构造m的完全剩余系（0,1,2,…m-1）,所有的整数必然这些整数中的1个对模m同余.取r[1]=0,r[2]=1,r[3]=2,r[4]=3,…r=i-1,1