题目
如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D、E,AD与BE相交于点F,若BF=AC,求∠ABC的大小.
提问时间:2021-03-21
答案
∵AD⊥BC,BE⊥AC(已知),
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°(垂直定义),
又∵∠AFE=∠BFD(对顶角相等),
∴△AEF∽△BDF(两对对应角相等的两三角形相似),
∴∠FAE=∠FBD(相似三角形的对应角相等),
在△BFD和△ACD中,
,
∴△BFD≌△ACD(AAS),
∴BD=AD(全等三角形的对应边相等),
∴∠BAD=∠ABD(等边对等角),
又∵∠ADB=90°(已证),
∴∠ABC=
=45°(三角形的内角和定理).
∴∠ADB=∠ADC=∠BEC=90°(垂直定义),
又∵∠AFE=∠BFD(对顶角相等),
∴△AEF∽△BDF(两对对应角相等的两三角形相似),
∴∠FAE=∠FBD(相似三角形的对应角相等),
在△BFD和△ACD中,
|
∴△BFD≌△ACD(AAS),
∴BD=AD(全等三角形的对应边相等),
∴∠BAD=∠ABD(等边对等角),
又∵∠ADB=90°(已证),
∴∠ABC=
180°−90° |
2 |
由AD⊥BC,BE⊥AC,根据垂直定义可得∠ADB,∠ADC及∠BEC都为直角,又∠AFE与∠BFD为对顶角,可得三角形AEF与三角形BDF相似,由相似三角形的对应角相等可得∠FAE=∠FBD,又一对直角相等,加上已知的BF=AC,利用AAS可得三角形ADC与三角形BFD全等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=BD,又AD与BD垂直,可得三角形ABD为等腰直角三角形,从而求出∠ABC的度数.
全等三角形的判定与性质.
此题考查了全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,学生做题时应挖掘题中隐含的条件,比如对顶角相等,垂直可得直角,结合图形,构造证明三角形全等的条件来解决问题,其中全等三角形的判定方法有SSS;SAS;ASA;AAS;HL(直角三角形),熟练掌握三角形全等的判定方法是解本题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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