题目

若1，2，3，4，5的排列a₁，a₂，a₃，a₄，a₅具有性质：对于1≤i≤4，a₁，a₂…a_i不构成1，2，…，i的某个排列，则这种排列的个数是______．

提问时间：2021-03-21

答案

1、总的排列数有A₅⁵种，用排除法
2、考虑对于1≤i≤4，a₁，a₂，…a_i为1，2，…i的某个排列的情况：
①当 i=4 时
即 a₁ a₂ a₃ a₄ 为1，2，3，4的某个排列，a₅=5，共有A₄⁴种可能
②当 i=3 时
即 a₁ a₂ a₃为1，2，3的某个排列，此处要考虑重复问题．即a₅ 必须不为5，否则会和 i=4  时重复．
故a₄=5，a₅=4，a₁ a₂ a₃任意排列，有 A₃³种可能
③当 i=2 时，a₅ 不为5，a₃不为3（否则和i=3重复），有
a₃=5时，a₁，a₂ 为1，2 的任意排列，a₄，a₅为3，4的任意排列，故有A₂²×A₂²=4种排列
a₄=5，a₅=3，a₃=4，此时有A₂²=2种
故 i=2时共有6种情况
④当 i=1 时，a₁=1，此时要满足以下条件：
1、a₂ 不为 2
2、a₂=3 时，a₃ 不能为2（与i=3重复）
3、a₅ 必须不为5，否则将和i=4重复
这样排列出来情况如下：
a₂=5，A₃³种
a₃=5，a₂ 不为2，有4种情况
a₄=5，a₅必须为2或3之间的一个，共2A₂²种
因而i=1时共有 14种情况
到此，结果就出来了：A₅⁵-A₄⁴-A₃³-6-14=70
故答案为：70