题目

如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，CF⊥BE交BD于点G，F是垂足．求证：四边形ABGE是等腰梯形．

提问时间：2021-03-21

答案

证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，BO=CO，
∠ABO=∠ABE+∠EBO=45°，
∠BCO=∠BCG+∠GCO=45°，
∵CF⊥BE，
∴∠BEC+∠GCO=90°，
∵AC⊥BD，
∴∠EBO+∠BEC=90°，
∴∠EBO=∠GCO，
∴∠ABE=∠BCG，
在△ABE和△BGC中，

∠ABE＝∠BCG ∠BAC＝∠OBC＝45° AB＝BC

∴△ABE≌△BGC，
∴AE=BG，
∴EO=GO，
∠OEG=∠OAB=45°
∴EG∥AB
∴AE=BG，
∴四边形ABGE是等腰梯形．

结合题意，欲证四边形ABGE为等腰梯形，即证EG∥AB和AE=GB；通过分析，只要证明△ABE≌△BGC，即可得出AE=BG，即OE=OG，即证EG∥AB，即证四边形ABGE是等腰梯形．

本题考点：等腰梯形的判定；正方形的性质．

考点点评：本题主要考查了全等三角形的性质和等腰梯形的判定，解决本题的关键就是证明△ABE≌△BGC，从而可推出四边形ABGE是等腰梯形．