题目

在一个三角形中,已知一边一角,如何求另外两边和的取值范围?

提问时间：2021-03-21

答案

分两种情况,已知一角以及这个角的一条邻边,这种情况既无最大值,也无最小值.
已知一角,以及这个角所对的边,有最大值,无最小值.
下面用图形说明,自己画图跟着下面分析.
设△ABC中,A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
（1）已知A和b,求a+c范围,由于AB的长度不确定,当AB很越短,a+c接近b,此时a+c越小,在AB点取一点D,显然AB+BC=AD+DB+BC>AD+DC,这就证明了B越靠近A,a+c越小,B越远离A,a+c越大,所以a+c无最值.
（2）已知A和a,求b+c的范围.由余弦定理,得a²=b²+c²-2bc·cosA,由于b²+c²=(b+c)²-2bc,代入可得a²=(b+c)²-2bc(1+cosA),再用不等式,得√(bc)≤(b+c)/2,得bc≤(b+c)²/4,所以
-2bc(1+cosA)≥-(b+c)²(1+cosA)/2,（因为-(1+cosA)