题目

求函数y＝

3 cosx

2+sinx

的值域 ___ ．

提问时间：2021-03-21

答案

设点P（sinx，cosx），Q（-2，0），
则

y

3

可看成单位圆上的动点P与点Q连线的斜率，如右图：
设直线QP₁是方程为y=k（x+2），即kx-y+2k=0，
则圆心（0，0）到它的距离d=

|2k|

k2+1

=1，
解得k1=-

3

3

或k2=

3

3

，
所以-

3

3

≤

y

3

≤

3

3

，即-1≤y≤1，
故答案为：[-1，1]．

由y＝

3 cosx

2+sinx

转化为

y

3

=

cosx

2+sinx

，则

y

3

可看成单位圆上的动点（sinx，cosx）与点Q（-2，0）连线的斜率，借助于图形，即可得到y的范围．

本题考点：三角函数的最值；直线与圆的位置关系．

考点点评：本题以三角函数为载体考查分式函数的值域，属于求三角函数的最值问题，属于基本题．