题目

经过点P(2,3,1)的平面中,求一平面,使之与三坐标面围成的第一卦限的立体体积最少.

提问时间：2021-03-21

答案

设过P的平面方程为x-2+m(y-3)+n(z-1)=0,
它交x轴于A(2+3m+n,0,0),交y轴于B(0,(2+n)/m+3),交z轴于C(0,0,(2+3m)/n+1).
它与三坐标面围成的第一卦限的立体体积
V=(1/6)(2+3m+n)[(2+n)/m+3][(2+3m)/n+1]
=(2+3m+n)^3/(6mn),
对m,n求偏导数,令它们为0,得
6m-n=2,
3m-2n=-2.
解得m=2/3,n=2.
∴V|min=6^3/8=27.