题目

已知函数f(x)＝loga

1−mx

x−1

（a>0，a≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（n，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数a与n的值．

提问时间：2021-03-21

答案

（1）∵函数f(x)=loga

1-mx

x-1

（a>0，a≠1）是奇函数．
∴f（-x）+f（x）=0解得m=-1．
（2）由（1）及题设知：f(x)=loga

x+1

x-1

，
设t=

x+1

x-1

=

x-1+2

x-1

=1+

2

x-1

，
∴当x₁>x₂>1时，t1-t2=

2

x1-1

-

2

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

∴t₁<t₂．
当a>1时，log_at₁<log_at₂，即f（x₁）<f（x₂）．
∴当a>1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0<a<1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）由题设知：函数f（x）的定义域为（1，+∞）∪（-∞，-1），
∴①当n<a-2≤-1时，有0<a<1．由（1）及（2）题设知：f（x）在为增函数，由其值域为（1，+∞）知

loga 1+n n-1 =1 a-2=-1

（无解）；
②当1≤n<a-2时，有a>3．由（1）及（2）题设知：f（x）在（n，a-2）为减函数，由其值域为（1，+∞）知

n=1 loga a-1 a-3 =1

得a=2+

3

，n=1．

（1）根据奇函数的定义可知f（-x）+f（x）=0，建立关于m的等式关系，解之即可；
（2）先利用函数单调性的定义研究真数的单调性，讨论a的取值，然后根据复合函数的单调性进行判定；
（3）先求函数的定义域，讨论（n，a-2）与定义域的关系，然后根据单调性建立等量关系，求出n和a的值．

本题考点：对数函数的值域与最值；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性和值域问题，属于基础题．