题目

设f(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)上可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,证明：
(1)存在η∈（1/2,1）,使f(η)=η
(2)对任意实数λ,必存在一点ξ∈（0,η）,使f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
需要的话可以加分的,大侠们帮帮忙吧.

提问时间：2021-03-21

答案

(1)证明：构造函数g（x）=f（x)-x,由于设(x)在闭区间[0,1]上连续,显然,
g(x)在闭区间[0,1]上连续,在开区间(0,1)上可导,
g(1/2)=f(1/2)-1/2=1/2>0
g(1)=f(1)-1=-1 (f(ξ)-ξ)'=λ*(f(ξ)-ξ)
=>f'(ξ)-1=λ*(f(ξ)-ξ)
即f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
证毕~
注：f'（ξ)表示f（x)在x=ξ处的倒数