题目

已知二次函数f（x）满足f（-2）=0，且2x≤f（x）≤

x2+4

2

对一切实数x都成立．
（1）求f（2）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）设b_n=

1

f(n)

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n>

4n

3(n+3)

．

提问时间：2021-03-21

答案

（1） ∵2x≤f（x）≤

x2+4

2

对一切实数x都成立，
∴4≤f（2）≤4，∴f（2）=4．
（2） 设f（x）=ax²+bx+c（a≠0）．
∵f（-2）=0，f（2）=4，
∴

4a+2b+c=4 4a-2b+c=0

，可得

b=1 c=2-4a

，
∵ax²+bx+c≥2x，即ax²-x+2-4a≥0恒成立，
∴△=1-4a（2-4a）≤0⇒（4a-1）²≤0，
∴a=

1

4

，c=2-4a=1，
故f(x)=

x2

4

+x+1．…（7分）
（3）证明：∵b_n=

1

f(n)

=

4

(n+2)2

>

4

(n+2)(n+3)

=4（

1

n+2

-

1

n+3

），
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n>4[（

1

3

-

1

4

）+（

1

4

-

1

5

）+…+（

1

n+2

-

1

n+3

）]=4×（

1

3

-

1

n+3

）=

4n

3(n+3)

．

（1）在2x≤f（x）≤

x2+4

2

中，取x=2可得答案；
（2）设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），由f（-2）=0，f（2）=4，得

4a+2b+c＝4 4a−2b+c＝0

，可得

b＝1 c＝2−4a

，根据ax²+bx+c≥2x恒成立可得△≤0，可化为关于a的不等式，可得a值，进而可得c值；
（3）由（2）可得b_n，进行放缩后利用裂项相消法可得关于S_n的不等式，得到结论；

本题考点：数列与不等式的综合；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题考查二次函数解析式的求解、数列与不等式的综合及恒成立问题，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力，（3）问中对b_n进行适当放缩然后求和是解题的关键所在．