题目

怎么证明内积在任意一组基下的度量矩阵是可逆阵

提问时间：2021-03-20

答案

两种证法.
可以用合同变换的性质:
在不同基下的度量矩阵相差一个合同变换.
合同的矩阵秩相等.
而在标准正交基下(一定存在),度量矩阵为单位阵,是满秩的.
因此度量矩阵都是满秩的,即可逆.
也可以用定义证明:
设内积在一组基ε1,ε2,...,εn下的度量矩阵为A.
假设A不可逆,则存在非零列向量X满足AX = 0.
考虑以X为坐标的向量v = (ε1 ε2 ...εn)X.
则(v,v) = X'AX = 0,但由X非零,ε1,ε2,...,εn是一组基,有v非零.
与内积的正定性矛盾.
因此A一定可逆.