题目

如果函数f(x)=绝对值（x-1)+绝对值（x+1).x属于实数集
1.证明：函数f(x)是偶函数
2.将函数式写成分段函数
3.求此函数的值域

提问时间：2021-03-20

答案

1、
f(x)= |x-1| + |x+1|
f(-x)=|-x-1| + |-x+1| = |-(x+1)| + |-(x-1)| = |x-1|+|x+1| = f(x)
∴f(x)是偶函数
2、
①当x＜-1时,x-1＜0,x+1＜0
f(x) = 1-x -x-1 = -2x
②当-1≤x≤1时,x-1≤0,x+1≥0
f(x)= 1-x +1+x = 2
③当x＞1时,x-1＞0,x+1＞0
f(x)= x-1 +1+x = 2x
∴f(x) = -2x,x＜-1
2,-1≤x≤1
2x,x＞1
3、
法一：
如果没有上面两题,最简单的方法是找出“ |x-1| + |x+1|”的意义 (这种方法用的很普片)
|x-1| 表示数轴上的点x到点 1 的距离
|x+1| 表示数轴上的点x到点 -1 的距离
∴ |x-1| + |x+1|,表示数轴上的点x到点 1 和到点 -1 的距离之和
∴ |x-1| + |x+1|≥2
∴值域为[2,﹢∞)
法二：
现在第二题已经求出分段函数了,就可以这样写了
①当x＜-1时,
f(x) = -2x ＞2
②当-1≤x≤1时,
f(x)= 2
③当x＞1时,
f(x)= 2x ＞2
∴值域为[2,﹢∞)