题目

如图，∠ABC=90°，AB=BC，D为AC上一点，分别过C、A作BD的垂线，垂足分别为E、F．求证：EF=CE-AF．

提问时间：2021-03-20

答案

证明：如图，∠ABC=90°，AF⊥BF，CF⊥BF，
∴∠BAF=∠CBE．
在△ABF与△BCE中，

∠F＝∠BEC ∠BAF＝∠CBE AB＝CB

，
∴△ABF≌△BCE（AAS），
∴AF=BE，BF=CE，
∵BE+EF=BF，
∴EF=CE-AF．

如图，由垂直的定义得到∠AFB=∠BEC；通过“等角的余角相等”证得∠BAF=∠CBE；然后结合已知条件AB=BC，利用AAS证得△AEB≌△BFC，所以AE=BF，CF=BE．结合图形易证得结论．

本题考点：全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．