题目

当x∈[-2，2]时，不等式x²+ax+3≥a恒成立，求a的取值范围．

提问时间：2021-03-20

答案

原不等式变成：x²+ax+3-a≥0，令f（x）=x²+ax+3-a，则由已知条件得：

f(−2)＝7−3a≥0 f(2)＝7+a＞0 − a 2 ＜−2

，或

f(−2)＝7−3a＞0 f(2)＝7+a≥0 − a 2 ＞2

，解得-7≤a＜-4；
∴a的取值范围为[-7，-4）．

由已知条件知，x∈[-2，2]时，x²+ax+3-a≥0恒成立，令f（x）=x²+ax+3-a，则a应满足：

f(−2)≥0 f(2)＞0 − a 2 ＜−2

，或

f(−2)＞0 f(2)≥0 − a 2 ＞2

，这样解不等式组即得a的取值范围．

本题考点：二次函数在闭区间上的最值．

考点点评：考查二次函数和一元二次不等式的关系，一元二次不等式解的情况，可结合图象求解．