题目

已知实数a,b,c满足a>b>c,且有a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1 求证：a+b

提问时间：2021-03-20

答案

sunzhenwei114 　所给出的答案不能成立.
其中的a＋b≧2√（ab）必须建立在a、b都是非负数的前提下,但条件中没有,也无法推出.
下面给出一个合理的解法：
∵a＋b＋c＝1、a^2＋b^2＋c^2＝1,∴a＋b＝1－c、a^2＋b^2＝1－c^2.
引入函数：f（x）＝（x＋a）^2＋（x＋b）^2.
∵a＞b,∴f（x）＞0.
又f（x）＝（x^2＋2ax＋a^2）＋（x^2＋2bx＋b^2）＝2x^2＋2（a＋b）x＋（a^2＋b^2）,
∴f（x）＝2x^2＋2（1－c）x＋（1－c^2）.
显然,f（x）是一条开口向上的抛物线,又f（x）＞0.
∴方程2x^2＋2（1－c）x＋（1－c^2）＝0的判别式＜0,∴4（1－c）^2－8（1－c^2）＜0,
∴（1－c）^2－2（1－c^2）＜0,∴（1－c）［（1－c）－2（1＋c）］＜0,
∴（1－c）（－1－3c）＜0,∴（3c＋1）（c－1）＜0,∴－1/3＜c＜1.
由a＋b＋c＝1,得：c＝1－（a＋b）.
∴－1/3＜1－（a＋b）＜1,∴－1＜（a＋b）－1＜1/3,∴0＜a＋b＜4/3.
于是,问题得证.