题目

过椭圆x^2/9+y^2=1的左焦点F的直线l与椭圆相交于P,Q两点,若P,Q的距离等于椭圆的短轴长,求直线l的倾斜角.
请附上解题思路,

提问时间：2021-03-20

答案

长半轴a=3,短半轴b=1,c=2√2,左焦点F1（-2√2,0）,|PQ|=2,
设直线PQ方程斜率k,y=k(x+2√2),代入椭圆方程,x^2+k^2(x+2√2)^2=1,
(9k^2+1)x^2+36√2k^2x+72k^2-9=0,
设P（x1,y1),Q（x2,y2),则x1,x2是二次方程的二根,
根据韦达定理,x1+x2=-36√2k^2/(9k^2+1),x1*x2=(72k^2-9)/(9k^2+1),
根据弦长公式|PQ|=√（1+k^2)(x1-x2)^2
=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]
=√(1+k^2){[(-36√2k^2/(9k^2+1)]^2-4(72k^2-9)/(9k^2+1)}
=[√(1+k^2)(36K^2+36)]/(9k^2+1)
2(9k^2+1)=6(1+k^2)
k=±√3/3,
tanα=±√3/3,
α=30°,或α=150°,
直线l的倾斜角为30度或150度.