题目

2000年第26届俄罗斯数学奥林匹克十年级决赛试题
在矩形桌子上放着许多相等而不重合的正方体纸片,其边都平行桌子的边且被分别染成k(k>=2)种颜色之一.如果考虑任意k个颜色互不相同的正方形,那么它们中都有两个可用一枚钉子钉在桌上.证明：可用（2k-2）枚钉子把某一种颜色的所有正方形全部钉在桌上.
很难的题,很想弄懂,给个100分,
三易巾凡,实在抱歉，你的答案我看得不太懂，能写具体些吗？

提问时间：2021-03-20

答案

对颜色数k作归纳.假设k种颜色编号为C[1],C[2],...,C[k]：
1.k = 2,找出桌面上最左端的正方形s,假设它的颜色为C[1],则所有颜色为C[2]的正方形均与之相交,并且这些正方形至少包含s右边的两个顶点之一,从而可以用2个钉子钉住颜色为C[2]的所有正方形.
2.设k = n时命题成立,k = n+1时,同样找出桌面上最左端的正方形s,假设它的颜色为C[n+1],将除s外的所有颜色为C[n+1]的正方形除去,则剩下的k色正方形可以分成两类,一类和s相交(这些正方形至少包含s右边的两个顶点之一),另一类满足:任k个颜色互不相同的正方形,存在两个正方形相交(否则这k个正方形和s组成的k+1个异色正方形两两不相交,矛盾).第一类可用两个钉子钉住,第二类根据归纳假设可用2k-2个钉子钉住其中的某一色正方形,该色正方形即被2k-2+2 = 2(k+1)-2个钉子完全钉住.