题目

高等代数中的投影算子是什么

提问时间：2021-03-20

答案

    首先弄明白算子是什么
    狭义的算子实际上是指从一个函数空间到另一个函数空间（或它自身）的映射.
     广义的算子的定义只要把上面的空间推广到一般空间,可以是向量空间.赋范向量空间,内积空间,或更进一步,Banach空间,Hilbert空间都可以.
    在高等代数中算子是指从一个向量空间到另一个向量空间的映射,但更多的是考虑到它自身的映射,也就是变换.
    在高等代数中,投影算子是从向量空间映射到自身的一种线性变换,是日常生活中“平行投影”概念的形式化和一般化.投影变换将整个向量空间映射到它的其中一个子空间,并且在这个子空间中是恒等变换.
    所以投影算子是一个从向量空间V射到它自身的线性变换, P 是投影若且仅若P^2=P.
    另外一个定义则较为直观：P 是投影,若且唯若存在V的一个子空间W,使得 P 将所有V中的元素都映射到W中,而且 P在W上是恒等变换.用数学的语言描述,就是：

例如,将三维空间中的向量 (x, y, z) 到映射到向量 (x, y,0) .这是在 x-y 平面上的投影.这个变换可以用矩阵表示为
                                         
因为对任意一个向量 (x, y, z) ,这个矩阵的作用是：
                                         
显然有P^2=P,它是一个投影算子.