题目

已知函数f(x)＝4sinωxcos(ωx+

π

3

)+

3

(ω＞0)的最小正周期为π．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在区间[−

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值及取得最值时x的值．

提问时间：2021-03-20

答案

（1）∵f(x)＝4sinωx(cosωxcos

π

3

−sinωxsin

π

3

)+

3

，------（1分）
=2sinωxcosωx−2

3

sin2ωx+

3

=sin2ωx+

3

cos2ωx---（3分）
=2sin(2ωx+

π

3

)．--------（4分）
∵T＝

2π

2ω

＝π，∴ω=1，----（5分）
∴f(x)＝2sin(2x+

π

3

)．------（6分）
（2）∵−

π

4

≤x≤

π

6

，∴−

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，即-1≤f（x）≤2，--------（9分）
当2x+

π

3

＝−

π

6

，即x＝−

π

4

时，f（x）_min=-1，
当2x+

π

3

＝

π

2

，即x＝

π

12

时，f（x）_max=2．-----（12分）

（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为2sin(2ωx+

π

3

)，再根据最小正周期为π求得ω的值，即可进一步确定函数的解析式．
（2）根据−

π

4

≤x≤

π

6

，利用正弦函数的定义域和值域求得f（x）在区间[−

π

4

，

π

6

]上的最大值和最小值，及取得最值时x的值．

本题考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．