题目

怎样证明四边形是等腰梯形

提问时间：2021-03-20

答案

分析:要证明四边形ABCD是等腰梯形,因为AB=CD,所以只要证明四边形ABCD是梯形即可;又因为AD≠BC,故只需要证AD‖BC即可.
证明:方法一:如图(1)
过A、D做BC的垂线AF,DH,垂足分别为F、H.
∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∵AF⊥BC,DH⊥BC,∴ AF=DH.
∵AF‖DH,∴四边形AFHD是矩形,所以AD‖BC.
∵AB=CD,∴四边形ABCD是等腰梯形.
方法二:如图(2).过点A做AE‖DC交BC于点E.∴∠DCB=∠AEB.
∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB,∴∠ABC=∠AEB,∴AB=AE.
∵AB=DC,∴AE=DC.∴四边形ABCD是平行四边形,∴AD‖BC.
∵AD≠BC,AB=CD,∴四边形ABCD是等腰梯形.
方法三:如图(3)分别延长BA、CD相交于点G.
∵AB=DC,AC=DB,AD=DA,
∴△ABD≌△DCA.∴∠BAD=∠CDA,∠GAD=∠GDA,∴AG=DG.AG+AB=GD+CD.BG=CG.
∴∠GAD=∠GBC.AD‖BC.∴四边形ABCD是等腰梯形.
方法四:如图(4)过点D做DM‖AC,交BC的延长线于点M.∴∠ACB=∠M,
∵AB=DC,AC=DB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.
∴∠ACB=∠DBC,∴∠DBC=∠M,∴DB=DM
∵AC=DB,∴AC=DM.∴四边形ACMD是平行四边形,∴AD‖BC.
∵AD≠BC,AB=CD,∴四边形ABCD是等腰梯形
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