题目

如图（1）和（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD相交于MN上的一点P，∠APM=∠CPM．

（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由；
（2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．

提问时间：2021-03-20

答案

（1）AB=CD，
理由是：过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB、OD，
∵∠APM=∠CPM，∠APM=∠BPN，∠CPM=∠DPN，
∴∠BPN=∠DPN，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴OE=OF，
在Rt△BEO和Rt△DOF中，OF=OE，OD=OB，由勾股定理得：BE=DF，
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
OF、OE过O，
∴由垂径定理得：CD=2DF，AB=2BE，
∴AB=CD．
（2）AB=CD成立，
证明：过O作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OB、OD，
∵∠APM=∠CPM，
∴OE=OF，
在Rt△BEO和Rt△DOF中，OF=OE，OD=OB，由勾股定理得：BE=DF，
∵OF⊥CD，OE⊥AB，
OF、OE过O，
∴由垂径定理得：CD=2DF，AB=2BE，
∴AB=CD．