题目

设函数f(x)=e^x+e^-x,证明函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数

提问时间：2021-03-20

答案

解设x1,x2属于(0,+∞),且x1＜x2
则f（x1）-f（x2）
=e^x1+e^（-x1）-e^x2-e^（-x2）
=e^x1-e^x2+e^（-x1）-e^（-x2）
=e^x1-e^x2+1/e^（x1）-1/e^（x2）
=e^x1-e^x2+e^（x2）/e^（x2）e^（x1）-e^（x1）/e^（x1）e^（x2）
=e^x1-e^x2+[e^（x2）-e^（x1）]/e^（x1）e^（x2）
=e^x1-e^x2-[e^（x1）-e^（x2）]/e^（x1）e^（x2）
=(e^x1-e^x2)[1-1/e^（x1）e^（x2）]
由x1＜x2
知e^x1＜e^x2
即e^x1-e^x2＜0
又由0＜x1＜x2
即e^（x1）＞1,e^（x2）＞1
则e^（x1）e^（x2）＞1
即1-1/e^（x1）e^（x2）＞0
即(e^x1-e^x2)[1-1/e^（x1）e^（x2）]＜0
即f（x1）-f（x2）＜0
故
f(x)在(0,+∞)上是单调增函数