题目

求证：当n为大于1的正整数时
（2n）×（n²-1）是12的倍数 （2n+1）×（2n²+2n）是12的倍数

提问时间：2021-03-20

答案

用数学归纳法
n=2时,（2n）×（n²-1）=4*3=12,是12的倍数,成立；（2n+1）×（2n²+2n）=5*12=60,是12的倍数,成立
设n=k时,（2k）×（k²-1）和（2k+1）×（2k²+2k）是12的倍数成立
(1) 当n=k+1时,
[2(k+1)]*[(k+1)^2-1]=(2k+2)[(k+1+1)(k+1-1)]=(2k+2)[k(k+2)]=2k(k+1)(k+2)=2k(k+1)(k-1+3)
=2k(k+1)(k-1)+6k(k+1)
=2k(k^2-1)+6k(k+1)
根据假设,（2k）×（k²-1）能被12整除,而两个相邻正整数必有一个是偶数,所以6k(k+1)能够被12整除
所以n=k+1时,[2(k+1)]*[(k+1)^2-1]能被12整除
所以对n>1,有（2n）×（n²-1）是12的倍数 成立
(2)当n=k+1时,
[2(k+1)+1][2(k+1)^2+2(k+1)]=(2k+3)*2(k+1)(k+2)=4k(k+1)(k+2)+6(k+1)(k+2)
由（1）可知,2k(k+1)(k+2)能被12整除(是[2(k+1)]*[(k+1)^2-1]化简的其中一步),且6(k+1)(k+2)能被12整除,
[2(k+1)+1][2(k+1)^2+2(k+1)]能被12整除
所以对n>1,有（2n+1）×（2n²+2n）是12的倍数 成立