题目

已知函数f（x）的定义域为（-2，2），函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x）．
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）若f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，求不等式g（x）≤0的解集．

提问时间：2021-03-19

答案

（1）∵数f（x）的定义域为（-2，2），函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x）．
∴

−2＜x−1＜2 −2＜3−2x＜2

，∴

1

2

＜x＜

5

2

，函数g（x）的定义域（

1

2

，

5

2

）．
（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，
∴f（x-1）≤-f（3-2x）=f（2x-3），∴

−2＜x−1＜2 −2＜2x−3＜2 x−1≥2x−3

，∴

1

2

＜x≤2，
故不等式g（x）≤0的解集是 （

1

2

，2]．

（1）由题意知，

−2＜x−1＜2 −2＜3−2x＜2

，解此不等式组得出函数g（x）的定义域．
（2）等式g（x）≤0，即  f（x-1）≤-f（3-2x）=f（2x-3），有

−2＜x−1＜2 −2＜2x−3＜2 x−1≥2x−3

，解此不等式组，
可得结果．

本题考点：函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；函数奇偶性的性质．

考点点评：本题考查函数的定义域的求法，利用函数的单调性和奇偶性解不等式，属于基础题．