题目

如图，等边△ABC中，D为AC上一点，E为BC延长线上一点且AD=CE，连接DB、DE；

（1）求证：DB=DE；
（2）若点D在AC的延长线上，（1）中的结论是否还成立？若成立，请画出图形，并证明；若不成立，说明理由．

提问时间：2021-03-19

答案

（1）证明：过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，如图，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，AB=AC，
∴∠F=60°，∠ECF=60°，
∴△CEF为等边三角形，
∴EF=CE=CF，
而AD=CE，
∴AD=EF，AC=DF=AB，
在△ABD和△FDE中，
AB=FD，
∠A=∠F，
AD=FE，
∴△ABD≌△FDE，
∴DB=DE；
（2）如图，（1）中的结论还成立，即有DB=DE．证明如下：
过E作EF∥BA交AC的延长线于F点，
和（1）一样可证明△CEF为等边三角形，
∴AD=CE=EF，DF=AC=AB，
易证得△ABD≌△FDE，
∴DB=DE．