题目

已知过点D(-2,0)的直线L与椭圆x^2/2+y^2=1交于不同两点A,B,点M是弦AB的中点
（1）若向量OP=OA+OB,求点P的轨迹方程
（2）求|向量MD|/|向量MA|的取值范围

提问时间：2021-03-19

答案

由于步骤较多,有些代入计算的步骤我就大致说过去了,不再详述,见谅!
1.设A(x1,y1),B(x2,y2),而原点O(0,0),∴向量OA={x1,y1},向量OB={x2,y2}
∴向量OP=向量OA+向量OB={x1+x2,y1+y2},故P点坐标为（x1+x2,y1+y2） ①
过D(-2,0)的直线AB,可设其斜率为k,则可将AB的方程表示成：y=k(x+2)
联立椭圆x^/2 +y^=1与直线AB的方程,消去y,可得到关于x的一元二次方程为：
(2k^+1)x^+8k^x+(8k^-2)=0
由于椭圆与AB相交于不同的两点A,B,故此方程的△>0,且A,B两点横坐标x1,x2分别为此方程的两个不等式实根,且有：
x1+x2=-8k^/(2k^+1) ②
x1*x2=(8k^-2)/(2k^+1) ③
而△=(8k^)^-4*(2k^+1)*(8k^-2)>0
|k|