题目

已知f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c的图象都过点P（2，0），且在点P处有公共切线，求f（x），g（x）的表达式．

提问时间：2021-03-19

答案

∵函数f（x）=2x³+ax的图象经过点P（2，0）
∴f（2）=2×2³+2a=0
∴a=-8
∴f（x）=2x³-8x
∴f′（x）=6x²-8
∴点P处的切线斜率k=f′（2）=6×2²-8=16
∵g′（x）=2bx，两函数图象在点P处有公切线
∴g′（2）=4b=16
∴b=4
∵g（x）=bx²+c的图象都过点P（2，0），
∴g（2）=16+c=0
∴c=-16
∴g（x）=4x²-16
∴f（x）=2x³-8x，g（x）=4x²-16

利用f（x）=2x³+ax与g（x）=bx²+c在点P处有公共切线，可求切线的斜率，利用函数f（x）与g（x）的图象都经过点P（2，0），即可求得f（x），g（x）的表达式．

本题考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数解析式的求解及常用方法．

考点点评：本题主要考查函数解析式的求解，考查利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．