题目

已知在棱长为1的正方体AC1中E,F,G分别为A1B1,BB1,CC1的中点,求异面直线CF与AE所成的角

提问时间：2021-03-19

答案

过B1作B1H∥DA交AB于H,令GH的中点为M.
∵ABCD－A1B1C1D1是棱长为1的正方体,∴EB1∥AH、B1F∥C1G、A1B1＝AB、BB1＝CC1,
又EB1＝A1B1/2、AH＝AB/2；　B1F＝BB1/2、GC＝CC1/2,∴EB1＝AH,B1F＝GC.
由EB1∥AH、EB1＝AH,得：AHB1E是平行四边形,∴B1H∥EA.
由B1F∥C1G、B1F＝GC,得：B1FCG是平行四边形,∴B1G∥FC.
由B1H∥EA、B1G∥FC,得：∠GB1H＝CF与AE所成的角.
容易得到：B1H＝CH＝B1G＝√（BC^2＋BH^2）＝√（1＋1/4）＝√5/2.
还容易得到：GH＝√（CG^2＋CH^2）＝√（1/4＋5/4）＝√6/2.
∵B1G＝B1H、GM＝HM,∴B1M⊥GM、∠GB1H＝2∠GB1M.
∴B1M＝√［B1G^2－（GH/2）^2］＝√（5/4－6/16）＝√14/4.
∴cos∠GB1M＝B1M/B1G＝（√14/4）/（√5/2）＝√14/（2√5）√7/√10.
∴cos∠GB1H＝cos2∠GB1M＝1－2（cos∠GB1M）^2＝1－2×（7/10）＝－2/5.
∴∠GB1H＝arccos（－2/5）.
即：CF与AE所成的角所成的角为arccos（－2/5）.